M06 · Математика рядом
Частоты, фаза и масштаб
Одна полоса — одна пространственная частота. Её положение задаёт фаза, а не только яркость точки спектра.
Здесь — математическая опора для глав учебника: сначала маленький расчёт, затем интерактивный пример и точные определения.
Посчитаем на маленьком примере
Ряд 3, 1, 3, 1 — это постоянный фон плюс один чередующийся узор. Каковы их вклады?
- Постоянный фон
- Вес чередующегося узора
- Собрать обратно
Коэффициент 1 измеряет присутствие выбранного узора. У постоянного ряда вклад этого узора будет нулевым: положительные и отрицательные произведения сократятся. Изображение использует такие узоры по двум координатам.
Комплексное число хранит длину и угол
Число можно показать как стрелку: длина |z| и угол arg z. По формуле Эйлера . В преобразовании Фурье это удобно для амплитуды и фазы периодического узора. При нулевой амплитуде фаза не определена; её цвет не должен создавать видимость сигнала.
Пространственная частота измеряется в циклах на пиксель или на физическую длину. Один и тот же узор с другим размером пикселя имеет другую физическую частоту. Нулевая частота — постоянная составляющая; сдвиг картинки меняет фазы, сохраняя амплитуды при периодической модели.
Поверни фазы, оставляя амплитуды прежними. Спектральная амплитуда не меняется, но расположение деталей может измениться: модуль и угол несут разную информацию. Пример не является интерактивным доказательством теоремы Парсеваля или всех свойств Фурье.
Та же амплитуда, другая фаза
Сдвигай фазу полос. Затем убери фазу при обратном преобразовании.
Точные значения — в разборе точки
Синий − · белый 0 · красный +; шкала -0.3…0.3
- Среднее + изменение x + изменение y
Точные значения — в разборе точки
Серая шкала 0…1: от чёрного к белому.
Разобрать выбранную точку
Что показывает график
Линия на изображении отмечает эту же строку. Нажми выше или ниже, чтобы перенести сечение; сравнивай значения при одном столбце.
- Среднее
- Полоса по x
- Сумма
- Выбранный столбец: 8
При сдвиге полос амплитуды спектра почти не меняются. Фаза задаёт их положение; обнуление фазы меняет изображение, хотя амплитуды сохранены.
Параметры и подробности
Сборка: среднее + горизонтальная полоса + вертикальная полоса. Знак вклада определяет, прибавляем мы яркость или вычитаем. Фаза сдвигает полосы, но не меняет их амплитуду. Пустые ячейки фазы соответствуют нулевым коэффициентам: у них фаза не определена.
Выбери точку на изображении. Стрелки перемещают её; Home и End — к краям строки. Просмотр не изменяет вычисление.
Для изменения примера нужен JavaScript и Canvas. Рассчитанные изображения доступны выше.
DFT имеет договорённость о нормировке
Определения и подробности
Для N отсчётов возьмём , а обратное преобразование — с множителем . В двумерном случае обратный множитель . FFT — быстрый алгоритм вычисления того же DFT, не другое преобразование.
При этой нормировке Parseval даёт . Для вещественного сигнала частоты образуют комплексно-сопряжённые пары. Если вручную менять только один из двух коэффициентов, обратный результат может стать комплексным. Показывать только реальную часть без пояснения — скрыть изменение задачи.
Свёртка в частотах требует тех же границ
Определения и подробности
Произведение DFT соответствует циклической свёртке. Чтобы получить линейную свёртку двух конечных массивов, нужно достаточное дополнение нулями и согласованное размещение ядра; в 1D длина не меньше N+M−1. Повторение краёв, отражение и циклическое продолжение — разные операторы.
Резкий обрез частот может дать звон около границы. Низкочастотный фильтр сглаживает детали, высокочастотный усиливает изменения и шум. Амплитудный спектр часто логарифмируют только для показа: логарифмированные значения нельзя подставлять обратно как исходные коэффициенты.
Локализация и частота конкурируют
Определения и подробности
Глобальная синусоида точно задаёт частоту, но не место локального события. Оконное преобразование и вейвлеты локализуют вклад ценой частотного разрешения. Конкретная граница неопределённости зависит от определений и нормировки; это не лозунг, что точность вообще невозможна.
Пирамида Гаусса последовательно сглаживает и уменьшает. Фильтровый банк разлагает сигнал на полосы; для точного восстановления нужны согласованные фильтры и границы. Вейвлет Хаара разделяет среднее и разность пары, но картинки коэффициентов не являются обычными фотографиями.