M02 · Математика рядом
Матрицы, операторы и базисы
Прозрачное смешивание каналов, линейный фильтр и сборка рисунка из нескольких вкладов.
Здесь — математическая опора для глав учебника: сначала маленький расчёт, затем интерактивный пример и точные определения.
Посчитаем на маленьком примере
Одна строка матрицы берёт три значения с весами ¼, ½, ¼. Что получится?
- Одна строка оператора
Другая строка использует другие координаты с теми же весами. Так весь фильтр становится матрицей: каждый выход — одна строка, каждый вход — один столбец. Веса фиксированы; удвоенный вход даст 9.
Один и тот же оператор для разных входов
Линейный оператор A сохраняет сложение и масштаб: . Усреднение с фиксированными весами и объявленными линейными границами линейно; медиана — нет. Добавление ненулевого постоянного смещения делает преобразование аффинным, а не линейным.
Смешивание RGB матрицей 3×3 действует в каждой точке. Пространственная свёртка после разворачивания изображения в вектор тоже задаётся матрицей, часто очень разреженной. Не нужно хранить всю эту матрицу, чтобы применять локальное правило. Транспонированный оператор Aᵀ удовлетворяет ; он не равен в общем случае.
В выбранном выходном пикселе видна строка линейного оператора: фиксированные веса умножаются на соседние входы и складываются. Сравни вклад одного соседа с итогом. Это иллюстрация локального линейного действия, а не демонстрация всех разложений матрицы ниже.
Из каких слагаемых получается пиксель?
Нажмите клетку на любой картинке. Слева рамка охватит её соседей, посередине появятся их значения, веса и произведения, справа — результат. Сначала посчитайте среднее для чёрного и белого, затем перейдите к серому и цвету.
Точные значения — в разборе точки
Серая шкала 0…1: от чёрного к белому.
Точные значения — в разборе точки
Серая шкала 0…1: от чёрного к белому.
Разобрать выбранную точку
Что показывает график
Каждая точка кривой — значение пикселя на отмеченной горизонтали. Выберите другую строку на изображении: график последует за ней. Сравните ширину границы и сохранность деталей.
- Вход
- Выход
Среднее заменяет пиксель средним его соседей; гауссово ядро сильнее учитывает центр. Sobel измеряет перепад, поэтому отрицательный результат допустим. В цветной картинке одно правило независимо применяется к выбранному R, G или B.
Параметры и подробности
Корреляция использует веса как нарисованы; свёртка разворачивает их на 180°. Несимметричное ядро делает разницу видимой. Производная и повышение резкости сохраняют отрицательные значения: цветовое отображение не меняет массив. Веса ниже — уже после выбранного разворота, порядок по строкам.
Выбери точку на изображении. Стрелки перемещают её; Home и End — к краям строки. Просмотр не изменяет вычисление.
Для изменения примера нужен JavaScript и Canvas. Рассчитанные изображения доступны выше.
Базис даёт направления сборки
Определения и подробности
Вектор (3,2) можно собрать как 3·(1,0)+2·(0,1). Аналогично изображение раскладывают по полосам, синусоидам или другим базисным картинкам. В ортонормированном базисе направления взаимно перпендикулярны и единичны, поэтому коэффициент равен скалярному произведению с направлением.
Собственный вектор сохраняет направление под действием A: . Для действительной симметричной матрицы существует ортонормированный собственный базис. Положительная определённость означает для любого ненулевого x; для симметричной матрицы это равносильно положительным собственным значениям. Произвольная матрица не обязана иметь действительный ортонормированный собственный базис.
SVD и PCA отвечают на разные вопросы
Определения и подробности
Для любой конечной действительной матрицы A существует SVD: с ортогональными U,V и неотрицательными сингулярными числами. Оставив r наибольших вкладов, получаем лучшую аппроксимацию ранга не больше r в норме Фробениуса; при равных значениях решение может быть неединственным. Это точное утверждение о матрице и выбранной норме, не о зрительном качестве.
PCA ищет направления наибольшей дисперсии центрированных наблюдений. Для спектрального куба наблюдениями могут быть спектры пикселей, а признаками — полосы. Ранг матрицы одной полутоновой картинки и собственные направления ковариации набора спектров — разные разложения. Центрирование, единицы и масштаб признаков меняют интерпретацию.
Линейная система не всегда имеет точное решение
Определения и подробности
В Ax=b данных может быть больше неизвестных, меньше или столько же. Наименьшие квадраты минимизируют . Если столбцы A линейно независимы, решение единственно; нормальные уравнения описывают его, но QR или SVD часто устойчивее прямого решения через .
Малые сингулярные числа усиливают шум при обращении. Отбрасывание слабых направлений или регуляризация стабилизируют результат ценой смещения. Это причина, почему «обратный фильтр» может выглядеть хуже размытого наблюдения.