M01 · Математика рядом
Числа, функции и сетки
Начни с выбранного пикселя: где он находится, что означает его число и какой тип данных нужен после обработки.
Здесь — математическая опора для глав учебника: сначала маленький расчёт, затем интерактивный пример и точные определения.
Посчитаем на маленьком примере
Ошибка в трёх клетках: 1, −2 и 2. Почему её длина равна 3?
- Квадраты убирают знак
- Длина возвращает исходные единицы
Сумма ошибок равна 1: знаки почти сократились. Длина 3 сохраняет величину расхождения. MSE для тех же клеток — 9/3 = 3; совпадение чисел здесь случайно, единицы и смысл разные.
Координата — адрес, значение — содержимое
В массиве координаты x и y задают столбец и строку, c — канал. В интерфейсе адрес можно показывать с 1, в программе — с 0; перевод должен быть явным. Координата на экране после увеличения не равна новой исходной выборке: один исходный пиксель может занять много экранных точек.
Скалярное поле хранит одно число в точке, векторное — несколько. RGB, направление потока и спектр могут быть векторами, но имеют разные единицы и смысл. Номер сегмента — категория, не величина. Отсутствующий измеренный канал не равен нулю: ноль может быть настоящим измерением.
Выбери клетку и канал: адрес изменяет место измерения, а канал — смысл прочитанного числа. Увеличение рисунка не добавляет новых отсчётов. Этот пример объясняет адреса и каналы; нормы ниже — отдельная математическая справка.
Что хранится в ячейке?
Переключайте каналы, среднее кодов и маску. Координаты совпадают, а смысл чисел меняется.
Точные значения — в разборе точки
RGB; диапазон показа 0…1
Точные значения — в разборе точки
Серая шкала 0…1: от чёрного к белому.
Разобрать выбранную точку
Что показывает график
RGB содержит три числа в точке, скалярная карта — одно. Маска 0/1 обозначает принадлежность, не цвет материала.
Параметры и подробности
Изображение хранится как строки × столбцы × каналы. RGB-плоскость содержит измерения или коды; маска содержит принадлежность. Прямоугольная маска задана вручную, а не найдена по цветам. Среднее R,G,B здесь — арифметическая иллюстрация, не физическая яркость. Номера координат в интерфейсе начинаются с 1.
Выбери точку на изображении. Стрелки перемещают её; Home и End — к краям строки. Просмотр не изменяет вычисление.
Для изменения примера нужен JavaScript и Canvas. Рассчитанные изображения доступны выше.
Функция связывает вход с выходом
Определения и подробности
Тоновая кривая f сопоставляет яркости другое число: . Это функция из оговорённого диапазона в другой. Локальный фильтр зависит уже от окрестности: выход одной точки определяется несколькими входными значениями. Глобальное выравнивание гистограммы зависит от всего изображения.
Непрерывная модель и её конечные измеренные отсчёты — разные объекты. Увеличение массива требует интерполяции, но не создаёт независимых наблюдений. Не смешивай функцию сцены, оптическое усреднение, дискретизацию и последующую картинку на дисплее.
Знак и дробная часть — часть результата
Определения и подробности
У 8-битного канала есть 256 целых значений 0…255. После производной возможны отрицательные значения, после среднего — дробные, после усиления — значения выше 255. Если сразу записать их в ограниченный байтовый буфер, часть вычисления пропадёт. Округление, ограничение диапазона и цветовая шкала должны быть отдельными объявленными этапами.
Например, среднее и байтовое 19 — не одно точное число. Числа с плавающей точкой тоже конечны: 0,1 не представляется точно двоичной дробью. Для сравнения вычислений задают осмысленную абсолютную или относительную погрешность; для индексов и категорий остаётся точное равенство.
Расстояние между изображениями
Определения и подробности
Для ошибки нормы дают: , , . L1 складывает модули, L2 — квадратный корень суммы квадратов, L∞ берёт наибольший модуль. Скалярное произведение складывает попарные произведения и помогает измерить направление и проекцию.
Для сетки, приближающей непрерывную область, сумма может включать площадь клетки. Без этого при изменении разрешения меняется масштаб энергии. Норма измеряет выбранное математическое различие; малая норма ошибки не гарантирует сохранения смысловой детали вроде цифры.