Вариации и пространства функций

Слабую производную определяют через интегрирование против гладких тестовых функций с компактным носителем, а не через обычный предел в каждой точке. Пространство W^{1, p} содержит функции и их первые слабые производные в L^p; при p=2 часто пишут H¹. Это утверждение о суммируемости, а не о гладком рисунке в каждой клетке.

BV — функции ограниченной вариации: распределительная производная может быть конечной мерой. Это позволяет описывать скачки на краях. Простая ступень имеет скачок и подходит для BV, хотя её производная не является обычной L²-функцией. Дискретная картинка конечна, но выбор регуляризатора наследует эти разные предпочтения непрерывных моделей.

В гладком случае TV(u) = ∫|∇u|. В общем BV-определении это полная масса меры производной. Модель ROF минимизирует 12‖u − f‖² + λTV(u) на подходящем пространстве. Для выпуклой TV и λ≥0 строго выпуклый квадратичный член даёт единственность решения в области, где задача корректно поставлена; это не утверждение о лучшем зрительном результате.

Формула div(∇u|∇u|) сингулярна при нулевом градиенте. Подстановка √|∇u|² + ε² задаёт сглаженную другую энергию, а не «тот же точный TV». Негладкие методы могут работать через субградиенты и двойственные переменные. У TV возможны ступеньки на плавных переходах и смещение контраста.

В сегментации энергия может учитывать данные внутри и снаружи контура плюс длину границы. Активный контур перемещается под действием выбранного критерия. Level set хранит контур как нулевой уровень функции и позволяет менять топологию; это способ представления, а не отдельное доказательство правильного разделения.

Mumford–Shah совместно описывает кусочно-гладкое изображение и границы; Chan–Vese использует упрощённую кусочно-постоянную модель. Инициализация и локальные минимумы могут влиять на результат. Дискретные операторы, шаг и граничные условия должны соответствовать показанной энергии, иначе анимация не демонстрирует заявленный метод.