Линейные фильтры и свёртка

Вес умножается на отсчёт

Начнём с маленькой фигуры: чёрная клетка хранит 0, белая — 1. Чтобы получить новое значение, берём квадрат 3 × 3 вокруг выбранной клетки, складываем девять чисел и делим на 9. Посередине можно проверить каждое слагаемое. Например, четыре белые клетки из девяти дадут 4/9 — серый результат.

Ядро — такая же маленькая таблица, только с весами. У среднего все веса равны 1, делитель равен 9. У гауссова приближения веса 1–2–1 / 2–4–2 / 1–2–1, делитель 16: близкие к центру клетки влияют сильнее. Выберите серые уровни, затем RGB. Цветной результат получается тем же расчётом отдельно для трёх каналов; переключатель канала показывает один из них.

Линейность и край массива

Sobel использует отрицательные и положительные веса: постоянные значения взаимно сокращаются, а перепад остаётся. Это измерение изменения, а не новая яркость. Поэтому отрицательные результаты сохраняются и показываются по отдельной шкале. Подробнее оба направления градиента и Canny разобраны в следующей теме о границах.

В дополнительных настройках корреляция применяет веса как нарисовано, а свёртка сначала разворачивает ядро на 180°. Для симметричного среднего разницы нет; несимметричное верхнее ядро позволяет её увидеть. Показанные в расчёте веса уже учитывают выбранное соглашение.

У фиксированного линейного оператора обработка суммы равна сумме обработок, а коэффициент масштаба проходит через вычисление. Обрезка, округление и меняющиеся по данным веса нарушают это свойство. Поэтому промежуточные отрицательные числа сохраняются.

Ноль, повтор и отражение — разные предположения о продолжении сцены. Наше отражение не повторяет крайнюю клетку. Периодическое продолжение связывает противоположные края; оно появится в Фурье. Сравнение без общего правила границ нечестно.

Тот же фильтр, меньше вычислений

Box-фильтр даёт равные веса, гауссов и биномиальный уменьшают дальние вклады. Сепарабельное ядро раскладывается в произведение двух векторов: строки, затем столбцы. Ниже прямой и разложенный пути считаются независимо и сравниваются.

Выберите клетку результата: слева автоматически откроется горизонтальный проход, а расчёт возьмёт из него три вертикальных соседа с весами 1, 2, 1 и разделит сумму на 4. Так промежуточная картинка перестаёт быть просто дополнительным изображением: именно её числа дают итог. При нескольких повторах показывается последний такой переход.

Интегральное изображение даёт сумму прямоугольника по четырём префиксным значениям. FFT бывает выгоден для больших ядер, но требует корректного дополнения и учёта круговой свёртки. На малом ядре прямой расчёт часто дешевле; изменение метода расчёта не должно менять смысл операции.