C19 · Восстанавливаем информацию
Энергии, диффузия и контуры
Параметр «сделай красивее» заменим явной целью: не уходить далеко от измерений и ограничивать выбранный вид сложности.
Теория
Диффузия переносит разницу между соседями
Дискретный лапласиан — сумма четырёх соседей минус четыре центра. Явный шаг тепла прибавляет его с коэффициентом dt. На единичной двумерной решётке dt≤1/4 сохраняет неотрицательные веса смеси; больший шаг может давать растущие колебания. Пульт ограничен безопасным 0,24.
Уравнение тепла в непрерывной модели связано с Gaussian-сглаживанием. Конечная сетка, границы и конечный шаг дают численное приближение. При повторе граничных значений нет потока за край. Долгое сглаживание убирает не только помехи, но и полезные контрасты.
Один шаг диффузии
Небольшие перепады сглаживаются потоком между соседями. Сначала сравни 0 и 1 итерацию, затем увеличь их число.
Точные значения — в разборе точки
Серая шкала 0…1: от чёрного к белому.
Точные значения — в разборе точки
Серая шкала 0…1: от чёрного к белому.
Разобрать выбранную точку
Что показывает график
При шаге не больше 1/4 новое значение — неотрицательная взвешенная сумма центра и четырёх соседей. Сглаживание не различает шум и тонкую полезную линию.
- MSE
- 0.001
- RMSE
- 0.0324
- PSNR (диапазон 0–1)
- 29.8018 dB
Параметры и подробности
Тепло: явная 4-соседняя схема, dt≤0.24, повтор границы. TV: ½||u−f||² + λΣ(√(dx²+dy²+ε²)−ε); шаг уменьшается до невозрастания энергии. Это сглаженная выпуклая TV, не Perona–Malik и не точная негладкая ROF.
Выбери точку на изображении. Стрелки перемещают её; Home и End — к краям строки. Просмотр не изменяет вычисление.
Для изменения примера нужен JavaScript и Canvas. Рассчитанные изображения доступны выше.
Два слагаемых энергии спорят о результате
Квадратичное согласование штрафует уход u от наблюдения f. Полная вариация штрафует суммарную величину пространственных изменений, а не просто сумму модулей яркостей. Здесь модуль сглажен для обычного градиентного шага. Чем больше λ, тем дороже изменение по изображению.
В каждой клетке dx — значение справа минус центр, dy — значение снизу минус центр. Вычисляем r = √(dx² + dy² + ε²), затем два нормированных вклада: qₓ = λ·dx/r и qᵧ = λ·dy/r. На выбранный центр влияют и соседние пары: градиент TV складывает qₓ слева и qᵧ сверху, вычитает собственные qₓ и qᵧ. За границей потоки равны нулю. Именно эти четыре числа показаны в разборе шага.
На каждой итерации вычисляется настоящий градиент именно этой энергии. Если шаг её увеличивает, шаг уменьшается. График показывает вычисленную историю, а не нарисованную кривую сходимости. Снижение энергии не означает минимальную ошибку по скрытому эталону или лучшую сохранность текстуры.
Согласование с данными и простота изображения
Увеличь вес гладкости и проследи реальную энергию по итерациям. Сравни кромки и мелкие колебания.
Точные значения — в разборе точки
Серая шкала 0…1: от чёрного к белому.
- Градиент данных: до шага − измерение
- Градиент TV: q слева + q сверху − q вправо − q вниз
- Сложить два градиента
- Значение − принятый шаг × градиент
Точные значения — в разборе точки
Серая шкала 0…1: от чёрного к белому.
Разобрать выбранную точку
Что показывает график
Суммарная энергия складывается из несогласия с наблюдением и цены перепадов яркости. Меняя λ, ты меняешь сам критерий: высоты разных кривых уже нельзя сравнивать как качество.
- Всего E(u)
- Несогласие с данными
- Цена перепадов × λ
- Показанная итерация: 8
Энергия убывает благодаря проверяемому уменьшению шага. Это свойство выбранной выпуклой сглаженной модели, а не обещание идеального восстановления.
- MSE
- 0.0006
- RMSE
- 0.0255
- PSNR (диапазон 0–1)
- 31.8805 dB
Параметры и подробности
Тепло: явная 4-соседняя схема, dt≤0.24, повтор границы. TV: ½||u−f||² + λΣ(√(dx²+dy²+ε²)−ε); шаг уменьшается до невозрастания энергии. Это сглаженная выпуклая TV, не Perona–Malik и не точная негладкая ROF.
Выбери точку на изображении. Стрелки перемещают её; Home и End — к краям строки. Просмотр не изменяет вычисление.
Для изменения примера нужен JavaScript и Canvas. Рассчитанные изображения доступны выше.
Другая энергия — другой алгоритм и гарантии
Справка и следующие методы
Негладкая ROF требует специальной оптимизации, например двойственных или proximal-методов. Perona–Malik меняет диффузию в зависимости от градиента и не наследует автоматически выпуклые гарантии TV. TV может превращать плавные области в ступеньки, а квадратичное сглаживание — размывать края.
Mumford–Shah совместно описывает гладкие области и границы. Level set хранит контур нулевым уровнем скалярного поля, что позволяет менять топологию; Chan–Vese связывает такое представление с энергией областей. Уравнения Эйлера—Лагранжа дают условие стационарности при нужных предположениях, но не готовый устойчивый браузерный решатель.
Практика
Проверь идею на другом условии. Следуй задаче над изображениями; разбор точки поможет объяснить результат. Эта практика не оценивается.
Меньше энергия — не обязательно точнее сцена
Начни без итераций, затем выполни 1, 5 и 20 шагов при неизменном λ. Сравни изображение и две части энергии: согласование с наблюдением и цену перепадов.
Точные значения — в разборе точки
Серая шкала 0…1: от чёрного к белому.
- Градиент данных: до шага − измерение
- Градиент TV: q слева + q сверху − q вправо − q вниз
- Сложить два градиента
- До первого шага: τ = 0
Точные значения — в разборе точки
Серая шкала 0…1: от чёрного к белому.
Разобрать выбранную точку
Что показывает график
Суммарная энергия складывается из несогласия с наблюдением и цены перепадов яркости. Меняя λ, ты меняешь сам критерий: высоты разных кривых уже нельзя сравнивать как качество.
- Всего E(u)
- Несогласие с данными
- Цена перепадов × λ
- Показанная итерация: 0
Суммарный критерий может уменьшаться, даже когда ошибка относительно чистой сцены растёт. График объясняет решение выбранной задачи, а не доказывает восстановленную истину.
- MSE
- 0.0026
- RMSE
- 0.0507
- PSNR (диапазон 0–1)
- 25.8994 dB
Параметры и подробности
Тепло: явная 4-соседняя схема, dt≤0.24, повтор границы. TV: ½||u−f||² + λΣ(√(dx²+dy²+ε²)−ε); шаг уменьшается до невозрастания энергии. Это сглаженная выпуклая TV, не Perona–Malik и не точная негладкая ROF.
Выбери точку на изображении. Стрелки перемещают её; Home и End — к краям строки. Просмотр не изменяет вычисление.
Для изменения примера нужен JavaScript и Canvas. Рассчитанные изображения доступны выше.
Игры
Проверь объяснение
Вопрос 1 из 5
Почему явный шаг тепла ограничен?
Точные значения — в разборе точки
Серая шкала 0…1: от чёрного к белому.
Точные значения — в разборе точки
Серая шкала 0…1: от чёрного к белому.
Точные значения — в разборе точки
Серая шкала 0…1: от чёрного к белому.
Точные значения — в разборе точки
Серая шкала 0…1: от чёрного к белому.
Точные значения — в разборе точки
Серая шкала 0…1: от чёрного к белому.
Точные значения — в разборе точки
Серая шкала 0…1: от чёрного к белому.
Выбери один ответ. Он проверится сразу.
Ограничения и материалы
Границы этого примера
Выполняются конечные шаги тепла и сглаженной TV с backtracking. Это не реализация Chambolle/ROF, Perona–Malik или движущегося level set; они объяснены как отличающиеся методы.
Математическая справка
- Производные и векторные поля
- Оптимизация и обратные задачи
- Численные вычисления
- Вариации и пространства функций