C13 · Координаты, частоты, масштабы
Частоты, фаза и Фурье
Изображение можно собрать из полос разных частот, направлений и фаз. Частота говорит, как часто повторяется узор, а фаза — где он начинается.
Если нужны основы
Теория
Частота — не длина волны света
Три периода по ширине 16 пикселей — пространственная частота 3/16 цикла на пиксель. В 2D у неё два компонента: они задают направление изменения. Постоянное среднее — DC, нулевая частота. Оно не означает «отсутствие света».
DFT вычисляет коэффициенты конечного периодического массива. Они комплексные: модуль задаёт амплитуду, аргумент — фазу. FFT — быстрый способ вычислить ту же DFT. Здесь маленькая прямая DFT помогает проверить каждое значение без отдельной библиотеки.
Соберём картинку из трёх слоёв
Сначала оставь только ровное среднее. Добавь полосы по x, затем по y. Нажми на результат: в центре видна сумма трёх вкладов именно в этой точке. Меняй фазу и число полос, не меняя их амплитуду.
Точные значения — в разборе точки
Серая шкала 0…1: от чёрного к белому.
- Среднее + изменение x + изменение y
Точные значения — в разборе точки
Серая шкала 0…1: от чёрного к белому.
Разобрать выбранную точку
Что показывает график
Линия на изображении отмечает эту же строку. Нажми выше или ниже, чтобы перенести сечение; сравнивай значения при одном столбце.
- Среднее
- Полоса по x
- Сумма
- Выбранный столбец: 8
Вклад полос бывает положительным и отрицательным: он осветляет или затемняет основу. По горизонтали у выбранной строки видна та же сумма. DFT хранит веса таких рисунков, а обратная DFT складывает их.
Параметры и подробности
Сборка: среднее + горизонтальная полоса + вертикальная полоса. Знак вклада определяет, прибавляем мы яркость или вычитаем. Фаза сдвигает полосы, но не меняет их амплитуду. Пустые ячейки фазы соответствуют нулевым коэффициентам: у них фаза не определена.
Выбери точку на изображении. Стрелки перемещают её; Home и End — к краям строки. Просмотр не изменяет вычисление.
Для изменения примера нужен JavaScript и Canvas. Рассчитанные изображения доступны выше.
Амплитуда — сколько, фаза — где
Теперь оставим все три слоя. У горизонтальных полос неизменны высота и число повторов, но фаза сдвигает их начало. Сравни спектр амплитуд при фазах 0° и 90°: яркие точки стоят на тех же частотах и имеют ту же яркость. Это не означает одинаковую картинку.
Выбери карту фазы: определены только точки с ненулевыми коэффициентами. Обнуление фазы сохраняет амплитуды, но переставляет максимумы полос. Пара положительной и отрицательной частоты описывает один вещественный косинус: это не два разных объекта на фотографии.
Та же амплитуда, другая фаза
Сдвигай фазу полос. Затем убери фазу при обратном преобразовании.
Точные значения — в разборе точки
Синий − · белый 0 · красный +; шкала -0.3…0.3
- Среднее + изменение x + изменение y
Точные значения — в разборе точки
Серая шкала 0…1: от чёрного к белому.
Разобрать выбранную точку
Что показывает график
Линия на изображении отмечает эту же строку. Нажми выше или ниже, чтобы перенести сечение; сравнивай значения при одном столбце.
- Среднее
- Полоса по x
- Сумма
- Выбранный столбец: 8
При сдвиге полос амплитуды спектра почти не меняются. Фаза задаёт их положение; обнуление фазы меняет изображение, хотя амплитуды сохранены.
Параметры и подробности
Сборка: среднее + горизонтальная полоса + вертикальная полоса. Знак вклада определяет, прибавляем мы яркость или вычитаем. Фаза сдвигает полосы, но не меняет их амплитуду. Пустые ячейки фазы соответствуют нулевым коэффициентам: у них фаза не определена.
Выбери точку на изображении. Стрелки перемещают её; Home и End — к краям строки. Просмотр не изменяет вычисление.
Для изменения примера нужен JavaScript и Canvas. Рассчитанные изображения доступны выше.
Удалить пару частот — изменить всё изображение
У вещественного изображения положительной частоте соответствует сопряжённая отрицательная. Чтобы сохранить вещественный результат, симметричную режекторную пару убирают вместе. Центральная яркая точка на показанном спектре — DC; удалять её для борьбы с полосами обычно неверно.
Свёртка в пространстве соответствует умножению спектров, если согласованы границы и нормировка. DFT по умолчанию предполагает периодическое продолжение: линейная свёртка требует достаточного дополнения. Резкая частотная отсечка даёт звон; Gaussian и Butterworth смягчают переход. Полосовые и режекторные фильтры выбирают диапазоны, но не понимают смысл объектов.
Убрать частоту полос
Полосы уже добавлены к сцене и не меняются. Подбери удаляемую частоту отдельно от частоты помехи; в спектре рамки отмечают сопряжённую пару.
Точные значения — в разборе точки
Серая шкала 0…1: от чёрного к белому.
Точные значения — в разборе точки
Серая шкала 0…1: от чёрного к белому.
Разобрать выбранную точку
Что показывает график
Полосы ослабевают, но полезная часть сцены на этих же частотах тоже теряется. Отдельного знания о «помехе» у DFT нет.
Параметры и подробности
DFT 16×16 вычислено напрямую: прямое без нормировки, обратное /256. Спектр центрирован и показан логарифмически; его координаты — частоты. Notch удаляет сопряжённую пару целиком, включая полезный сигнал на тех же частотах.
Выбери точку на изображении. Стрелки перемещают её; Home и End — к краям строки. Просмотр не изменяет вычисление.
Для изменения примера нужен JavaScript и Canvas. Рассчитанные изображения доступны выше.
Как читать спектр без ложных выводов
Справка и следующие методы
Яркость спектра показана как log(1+|F|) на общей фиксированной шкале. Это делает слабые коэффициенты видимыми, но не меняет расчёт обратного преобразования. Координата спектра — частота, а не соответствующий пиксель фотографии.
Для выбранной нормировки сумма квадратов исходных значений равна сумме квадратов модулей DFT, делённой на число пикселей: это конечная версия равенства Парсеваля. Фаза часто важна для положения контуров, но нет правила «амплитуда всегда бесполезна»: текстуры и другие сцены могут вести себя иначе. DCT далее использует другую, вещественную косинусную базу.
Практика
Проверь идею на другом условии. Следуй задаче над изображениями; разбор точки поможет объяснить результат. Эта практика не оценивается.
Найди пару, которая убирает полосы
Частота помехи здесь отличается от примера выше. Не меняй саму помеху: подбери удаляемую пару и сравни спектр до и после удаления. Проверь также соседнюю частоту.
Точные значения — в разборе точки
Серая шкала 0…1: от чёрного к белому.
Точные значения — в разборе точки
Серая шкала 0…1: от чёрного к белому.
Разобрать выбранную точку
Что показывает график
Правильная пара ослабляет полосы; соседняя может убрать часть сцены, оставив полосы. Удаляемый коэффициент не знает, какая его часть была полезной.
Параметры и подробности
DFT 16×16 вычислено напрямую: прямое без нормировки, обратное /256. Спектр центрирован и показан логарифмически; его координаты — частоты. Notch удаляет сопряжённую пару целиком, включая полезный сигнал на тех же частотах.
Выбери точку на изображении. Стрелки перемещают её; Home и End — к краям строки. Просмотр не изменяет вычисление.
Для изменения примера нужен JavaScript и Canvas. Рассчитанные изображения доступны выше.
Игры
Проверь объяснение
Вопрос 1 из 5
Что меняется, если удалить DC?
Точные значения — в разборе точки
Серая шкала 0…1: от чёрного к белому.
Точные значения — в разборе точки
Серая шкала 0…1: от чёрного к белому.
Точные значения — в разборе точки
Синий − · белый 0 · красный +; шкала -0.3…0.3
Точные значения — в разборе точки
Серая шкала 0…1: от чёрного к белому.
Точные значения — в разборе точки
Серая шкала 0…1: от чёрного к белому.
Точные значения — в разборе точки
Серая шкала 0…1: от чёрного к белому.
Выбери один ответ. Он проверится сразу.
Ограничения и материалы
Границы этого примера
DFT ограничена 16×16, notch — одной парой точных частот. Не заявлены FFT больших фотографий или полное удаление произвольных полос.